Akar Berulang

Pada bagian sebelumnya telah dipaparkan bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial ay^''+by^'+cy=0 (1) Dengan dua akar persamaan karakteristik ar^2+br+c=0 (2) Bernilai real berbeda atau bernilai kompleks saling sekawan. Dalam bagian ini akan dipresentasikan untuk kasus dua akar karakteristik, r_1dan r_2, yang bernilai sama. Kasus akan dipenuhi apabila diskriminan b^2-4ac=0. Hal ini akan memberikan nilai r_1=r_2=-b/2a (3) Akar penyelesaian persamaan (1) adalah y_1 (t)=e^(-bt/2a) (4) Contoh 1: Selesaikan persamaan diferensial y^''+4y^'+4y=0 (5) Penyelesaian: Persamaan karakteristik dari persamaan tersebut adalah r^2+4r+4=〖(r+2)〗^2=0 Sehingga r_1=r_2=-2. Dan penyelesaian untuk persamaan (5) adalah y_1 (t)=e^(-2t). Untuk menentukan penyelesaian umum persamaan (5) diperlukan penyelesaian yang kedua. Jika y_1 (t) adalah penyelesaian dari persamaan (1), maka cy_1 (t) untuk c konstan juga merupakan solusi dari persamaan (1). Dengan menggunakan asumsi bahwa c dapat digantikan dengan v(t) dan mencoba menentukan v(t) sehingga hasil kali v(t) y_1 (t) juga merupakan penyelesaian persamaan (1). Substitusikan y=v(t) y_1 (t) pada persamaan (1) dan gunakan hasilnya untuk menentukan v(t). dimulai dari y=v(t) y_1 (t)=v(t) e^(-2t) (6) diperoleh y^'= v'(t) e^(-2t)-2v(t)e^(-2t) (7) dan y^''= v''(t) e^(-2t) -4v'(t) e^(-2t)+4v(t) e^(-2t) (8) Dengan mensubstitusikan persamaan (6), (7), dan (8) ke dalam persamaan (5) diperoleh [v^'' (t)-4v^' (t)+4v(t)+ 〖4v〗^' (t)-8v(t)+ 4v(t)]e^(-2t)=0 Dan disederhanakan menjadi v^'' (t)=0 (9) Sehingga v^' (t)=c_1 dan v(t)=c_1 t+c_2 (10) Akhirnya dengan mensubstitusikan v(t) ke dalam persamaan (6) diperoleh y=c_1 te^(-2t)+c_2 e^(-2t) (11) Penyelesaian tersebut adalah linear independent dengan menghitung nilai Wronskian sebagai berikut: W(y_1,y_2 )(t)=|■(e^(-2t)&〖te〗^(-2t)@-2e^(-2t)&(1-2t)e^(-2t) )|=e^(-4t)-2te^(-4t)+2te^(-4t)=e^(-4t)≠0. Pengembangan dari Contoh 1 Jika diasumsikan bahwa koefisien dari persamaan (1) memenuhi b^2-4ac=0, maka y_1 (t)=e^(-bt/2a) adalah sebuah penyelesaiannya. Kemudian diasumsikan bahwa y=v(t) y_1 (t)=v(t) e^(-bt/2a) (12) diperoleh y^'= v'(t) e^(-bt/2a)-b/2a v(t)e^(-bt/2a) (13) dan y^''= v''(t) e^(-bt/2a) - b/a v'(t) e^(-bt/2a)+b^2/〖4a〗^2 v(t) e^(-bt/2a) (14) kemudian substitusikan ke dalam persamaan (1), diperoleh {a[v^'' (t)-b/a v^' (t)+b^2/〖4a〗^2 v(t) ]+b[v^' (t)-b/2a v(t) ]+cv(t) } e^(-bt/2a)=0 (15) atau mengasumsikan bahwa e^(-bt/2a)≠0 maka av^'' (t)+(b-b) v^' (t)+(b^2/4a-b^2/2a+c)v(t)=0 (16) Karena b^2-4ac=0, maka v^'' (t)=0 sehingga v^' (t)=c_1 dan v(t)=c_1 t+c_2 Akhirnya dengan mensubstitusikan v(t) ke dalam persamaan (13) diperoleh y=c_1 te^(-bt/2a)+c_2 e^(-bt/2a) (17) Sehingga y adalah kombinasi linear dari penyelesaian y_1 (t)=e^(-bt/2a) , y_2 (t)=〖te〗^(-bt/2a) (18) Kedua suku dalam penyelesaian tersebut adalah linear independent dengan menghitung nilai Wronskian sebagai berikut: W(y_1,y_2 )(t)=|■(e^(-bt/2a)&〖te〗^(-bt/2a)@-b/2a e^(-bt/2a)&(1-bt/2a)e^(-bt/2a) )|=e^(-bt/2a). Contoh 2. Tentukan penyelesaian dari permasalahan awal y^''-y^'+0,25y=0, y(0)=2, y^' (0)=1/3 Penyelesaian: Dapat ditunjukkan bahwa persamaan karakteristik permasalahan nilai awal di atas adalah r^2-r+0,25=〖(r-0,5)〗^2=0 Dengan r_1=r_2=0,5 diperoleh penyelesaian umum persamaan diferensial tersebut adalah y=c_1 e^0,5t+c_2 〖te〗^0,5t Dengan mensubstitusikan nilai awal yang diberikan diperoleh nilai c_1=2 dan c_2=-2/3. Sehingga diperoleh penyelesaian permasalahan nilai awal di atas adalah y=2e^0,5t-2/3 〖te〗^0,5t